삼수선의 정리 완벽 정복: 3개 수선으로 공간도형 끝내기

 

삼수선의 정리, 이름만 들어도 머리 아프신가요? 🤯 3D 공간 도형 문제를 정복하는 핵심 열쇠! 이 글 하나로 삼수선의 정리가 무엇인지, 왜 쓰는지, 그리고 어떻게 쓰는지 완벽하게 이해시켜 드릴게요.

📋 목차

• 1. 삼수선의 정리가 도대체 뭔가요?
• 2. 핵심 증명: 왜 성립하는 걸까요?
• 3. 그래서, 언제 사용하는 건가요?
• 4. 실전 예제: 이렇게 적용해 보세요!
• 5. 자주 묻는 질문 (FAQ)

공간도형 문제만 만나면 눈앞이 캄캄해지는 분들 계시죠? 😥 특히 '삼수선의 정리'는 이름부터 뭔가 복잡해 보여서 지레 겁먹기 쉬운데요. 저도 학창 시절에 이 정리를 처음 만났을 때, "수선이 3개나 있다고?" 하면서 혼란스러웠던 기억이 나네요.

하지만 알고 보면 이 정리는 3D 공간 문제를 2D 평면 문제처럼 간단하게 바꿔주는 정말 고마운 '마법의 도구'랍니다. 오늘 저와 함께 이 마법의 열쇠, 삼수선의 정리를 완벽하게 마스터해 봐요! 😊

 

1. 삼수선의 정리가 도대체 뭔가요? 🤔

삼수선의 정리는 이름 그대로 **'3개의 수선(수직인 선)'** 사이의 관계를 설명하는 정리입니다. 공간에 있는 한 점과 평면 위의 한 직선 사이의 관계를 다룰 때 사용되죠.

말로만 하면 복잡하니까, 3단계로 나누어 살펴볼게요.

여기 **평면 $\alpha$**와 그 위에 있지 않은 **점 P**가 있습니다. 그리고 평면 $\alpha$ 위에는 **직선 $l$**이 있습니다.

1. 수선 1️⃣ (점 ➔ 평면): 점 P에서 평면 $\alpha$에 수선의 발을 내립니다. 이 점을 **O**라고 합시다. (즉, $PO \perp \alpha$)
2. 수선 2️⃣ (평면 위의 점 ➔ 직선): 점 O에서 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$에 수선의 발을 내립니다. 이 점을 **H**라고 합시다. (즉, $OH \perp l$)
3. 수선 3️⃣ (결론!): 이때, 점 P와 점 H를 연결한 선분 **PH**는 직선 $l$과 **반드시 수직**이 됩니다. (즉, $PH \perp l$)

이 세 가지 수선 관계 ($PO \perp \alpha$, $OH \perp l$, $PH \perp l$) 중 **어느 2가지가 성립하면 나머지 1가지도 자동으로 성립한다**는 것이 바로 삼수선의 정리입니다.

💡 알아두세요!
핵심은 '평면 밖의 한 점 P'와 '평면 위의 한 직선 $l$' 사이의 관계를 3개의 수선으로 연결하는 거예요. 특히 $PH$는 점 P에서 직선 $l$까지의 **최단 거리**가 됩니다.

 

2. 핵심 증명: 왜 성립하는 걸까요? 🧐

"그래서 그게 왜 수직인데?"라고 궁금해하실 수 있어요. 증명은 생각보다 간단합니다! '직선과 평면의 수직' 개념만 알면 돼요.

우리는 $PO \perp \alpha$이고 $OH \perp l$일 때, 왜 $PH \perp l$인지 증명해 볼게요.

📝 증명 과정

1. 1단계: $PO \perp \alpha$ (가정 1)이므로, 점 P에서 평면 $\alpha$에 내린 수선 $PO$는 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선과 수직입니다. 물론 직선 $l$과도 수직이죠. ($PO \perp l$)
2. 2단계: $OH \perp l$ (가정 2)입니다.
3. 3단계: 1, 2단계에 의해, 직선 $l$은 $PO$와 $OH$라는 두 직선과 동시에 수직입니다.
4. 4단계: $PO$와 $OH$는 한 점 O에서 만나는 두 직선이므로, 이 두 직선을 포함하는 **평면 $POH$**가 결정됩니다.
5. 5단계: 3단계에서 직선 $l$이 평면 $POH$ 위의 두 직선($PO$, $OH$)과 수직이므로, 직선 $l$은 **평면 $POH$ 전체와 수직**입니다. ($l \perp$ 평면 $POH$)
6. 결론: 직선 $PH$는 평면 $POH$ 위에 포함된 직선이므로, 평면 $POH$와 수직인 직선 $l$은 당연히 $PH$와도 수직입니다. ($PH \perp l$) (증명 끝)

어때요? 결국 '직선 $l$'이 '평면 $POH$'와 수직이라는 것을 보이는 게 핵심이었네요!

 

3. 그래서, 언제 사용하는 건가요? 📊

삼수선의 정리는 특히 다음과 같은 상황에서 강력한 힘을 발휘합니다.

• 공간에서 한 점(P)과 직선($l$) 사이의 최단 거리를 구할 때 (가장 중요!)
• 두 평면이 이루는 각, 즉 **이면각(Dihedral Angle)**의 크기를 구할 때
• 꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리를 구할 때
• 복잡한 공간도형 문제에서 수직 관계를 찾아내고 길이나 각을 계산할 때

⚠️ 주의하세요!
문제를 풀 때 3개의 수선 중 2개가 이미 주어졌거나 쉽게 찾을 수 있다면, 나머지 1개도 수직일 것이라고 '예측'하고 접근하는 것이 중요해요.

 

4. 실전 예제: 이렇게 적용해 보세요! 📚

백문이 불여일견이죠! 간단한 예제로 감을 잡아봅시다.

상황

• $xy$평면($\alpha$) 밖의 한 점 $P(0, 0, 5)$가 있습니다.
• $xy$평면 위에 직선 $l : y = x + 2$가 있습니다.

질문: 점 P에서 직선 $l$까지의 최단 거리는 얼마일까요?

풀이 과정 (삼수선 적용!)

1) (수선 1: $PO \perp \alpha$) 점 $P(0, 0, 5)$에서 $xy$평면($\alpha$)에 내린 수선의 발은 $O(0, 0, 0)$ (원점) 입니다. 이때 $PO$의 길이는 5입니다.

2) (수선 2: $OH \perp l$) 점 $O(0, 0, 0)$에서 $xy$평면 위의 직선 $l$ (즉, $x - y + 2 = 0$)에 수선의 발 $H$를 내립니다. $OH$의 길이는 2D 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용합니다.
$OH = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

3) (수선 3: $PH \perp l$) 삼수선의 정리에 의해, $PO \perp \alpha$이고 $OH \perp l$이므로 $PH \perp l$가 성립합니다. 따라서 우리가 찾는 '최단 거리'는 바로 $PH$의 길이입니다.

최종 결과

- $\triangle POH$는 $\angle POH = 90^\circ$인 직각삼각형입니다. ( $PO$가 평면 전체와 수직이므로 $OH$와도 수직)

- 피타고라스 정리에 의해, $PH = \sqrt{PO^2 + OH^2} = \sqrt{5^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ 입니다.

이렇게 3D 공간 문제를 2D 평면에서의 점-직선 거리 문제와 피타고라스 정리로 간단히 해결했습니다!

💡

삼수선의 정리 핵심 요약

✨ 수선 1 (PO ⊥ α): 점에서 평면에 내린 수선

✨ 수선 2 (OH ⊥ $l$): 평면 위의 발에서 직선에 내린 수선

✨ 수선 3 (PH ⊥ $l$): 점에서 직선까지 최단 거리 (결론!)

공간 도형의 거리 문제는 3개의 수선으로 해결!

5. 자주 묻는 질문 ❓

Q: 삼수선의 '정리'와 '역'은 다른가요?

A: 네, 하지만 삼수선의 정리는 '역'도 성립합니다! 3개의 수선 관계 중 어느 2개가 성립하면 나머지 1개도 수직이 됩니다. 예를 들어 $PO \perp \alpha$이고 $PH \perp l$이라면, $OH \perp l$도 성립합니다.

Q: 이면각(두 평면이 이루는 각)과는 무슨 관계인가요?

A: 이면각의 크기는 두 평면의 교선에 각각 수직인 두 직선이 이루는 각으로 정의됩니다. 이때 '수직인 직선'을 찾기 위해 삼수선의 정리가 매우 유용하게 사용됩니다.

Q: 꼭 직각좌표계가 있어야만 풀 수 있나요?

A: 아니요! 좌표계가 없어도 정육면체, 직육면체, 사면체 등에서 모서리와 면을 기준으로 삼수선의 정리를 똑같이 적용할 수 있습니다.

어떠셨나요? 복잡해 보였던 삼수선의 정리가 조금은 만만하게 느껴지시나요? 🥳 오늘 배운 3개의 수선 관계만 잘 기억해두신다면, 앞으로 공간도형 문제에 훨씬 자신감이 붙으실 거예요!

혹시 이해가 안 되거나 더 궁금한 점이 있다면 언제든 댓글로 남겨주세요~ 😊